Разложение на множители хорошо знакомых чисел. Числовые пирамиды

Некоторые числа, хорошо всем знакомые, имеют очень красивые разложения на множители. Иногда числа-множители образуют арифметическую прогрессию, иногда для их записи используются те же цифры, что и для записи произведения...

365 = 10² + 11² + 12² = 13² + 14²

2⁵ x 9² = 2592

Красивые числа и их разложения на простые числа:

1001 = 7 x 11 x 13

10101 = 3 x 7 x 13 x 37

111111 = 111 х 1001 = 11 х 10101 = 3 х 7 х 11 х 13 х 37

Красивые результаты при умножении:

• Трехзначных чисел на 1001:
  873 х 1001 = 873873
  207 х 1001 = 207207
• двузначных чисел на 10101:
  73 x 10101 = 737373
  21 х 10101 = 212121
• ...

Разложение на множители чисел, записываемых только единицами:

         111 = 3 x 37
        1111 = 11 х 101
       11111 = 41 х 271
      111111 = 3 х 7 х 11 х 13 х 37
     1111111 = 239 х 4649
    11111111 = 11 х 73 х 101 х 137
   111111111 = 9 х 37 х 333667
  1111111111 = 11 х 41 х 271 х 9091
 11111111111 = 21649 х 513239
111111111111 = 3 х 7 х 11 х 13 х 37 х 101 х 9901

Числовые пирамиды:

       1 х 9 + 2 = 11
      12 х 9 + 3 = 111
     123 х 9 + 4 = 1111
    1234 х 9 + 5 = 11111
   12345 х 9 + 6 = 111111
  123456 х 9 + 7 = 1111111
 1234567 х 9 + 8 = 11111111
12345678 х 9 + 9 = 111111111

        1 х 8 + 1 = 9
       12 х 8 + 2 = 98
      123 х 8 + 3 = 987
     1234 х 8 + 4 = 9876
    12345 х 8 + 5 = 98765
   123456 х 8 + 6 = 987654
  1234567 х 8 + 7 = 9876543
 12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

       9 х 9 + 7 = 88
      98 х 9 + 6 = 888
     987 х 9 + 5 = 8888
    9876 х 9 + 4 = 88888
   98765 х 9 + 3 = 888888
  987654 х 9 + 2 = 8888888
 9876543 х 9 + 1 = 88888888
98765432 х 9 + 0 = 888888888

12345679 х 9 = 111111111; а значит,

12345679 x 9 x 1 = 111111111
12345679 x 9 x 2 = 222222222
12345679 x 9 x 3 = 333333333
12345679 x 9 x 4 = 444444444
12345679 x 9 x 5 = 555555555
12345679 x 9 x 6 = 666666666
12345679 x 9 x 7 = 777777777
12345679 x 9 x 8 = 888888888
12345679 x 9 x 9 = 999999999

Кроме того,

         1 x 1 =         1
        11 x 11 =        121
       111 x 111 =       12321
      1111 x 1111 =      1234321
     11111 x 11111 =     123454321
    111111 x 111111 =    12345654321
   1111111 x 1111111 =   1234567654321
  11111111 x 11111111 =  123456787654321
 111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Один из источников: Перельман Я.И. Занимательная арифметика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.