Золотое сечение

(См. также: Понятие золотого сечения
Золотое сечение в архитектуре, скульптуре, живописи, фотографии
Золотое сечение в живой природе
Золотые пропорции в литературе. Поэзия и золотое сечение
Золотое сечение в музыке, физике, астрономии. Золотое сечение и восприятие изображений (право- и левополушарные люди))

Числа Фибоначчи и золотое сечение

Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Фибоначчи. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только лишь как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой "задачи о размножении кроликов". Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.

Сущность своей "задачи о размножении кроликов" Фибоначчи сформулировал предельно просто:

"Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?"

Месяц

Количество
взрослых
пар

Кол-во
новорожденных
пар

Общее
кол-во
пар

1

1

0

1

2

1

1

2

3

2

1

3

4

3

2

5

5

5

3

8

6

8

5

13

Изучая последовательности чисел, обозначающих количество пар кроликов, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности, начиная с некоторого номера, равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:

Fn = Fn-1 + Fn-2.

Такая формула называется рекуррентной формулой.

В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Если в ряду чисел Фибоначчи взять отношение последущего члена к предыдущему или наоборот, то получим уже знакомые нам числа: 1,618 и 0,618. Причем, чем больше порядковые номера членов, тем точнее выполняется "золотое" соотношение.

Числа Фибоначчи Uk

Отношение х=Uk/Uk-1

x

1

 

 

1

1,0000000000

-0,6180339887

2

2,0000000000

0,3819660113

3

1,5000000000

-0,1180339887

5

1,6666666667

0,0486326779

8

1,6000000000

-0,0180339887

13

1,6250000000

0,0069660113

21

1,6153846154

-0,0026493734

34

1,6190476190

0,0010136303

55

1,6176470588

-0,0003869299

89

1,6181818182

0,0001478294

144

1,6179775281

-0,0000564607

233

1,6180555556

0,0000215668

377

1,6180257511

-0,0000082377

610

1,6180371353

0,0000031465

987

1,6180327869

-0,0000012019

1597

1,6180344478

0,0000004591

2584

1,6180338134

-0,0000001753

4181

1,6180340557

0,0000000670

6765

1,6180339632

-0,0000000256

10946

1,6180339985

0,0000000098

17711

1,6180339850

-0,0000000037

28657

1,6180339902

0,0000000014

46368

1,6180339882

-0,0000000005

75025

1,6180339890

0,0000000002

121393

1,6180339887

-0,0000000001

Кроме того, n-я степень числа Ф выражается замечательной формулой:

Формула степеней числа Ф

где an - n-ое число Фибоначчи, а bn - n-ый член последовательности 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ..., строящейся по тому же принципу, что и последовательность Фибоначчи.

(См. также: Понятие золотого сечения
Золотое сечение в архитектуре, скульптуре, живописи, фотографии
Золотое сечение в живой природе
Золотые пропорции в литературе. Поэзия и золотое сечение
Золотое сечение в музыке, физике, астрономии. Золотое сечение и восприятие изображений (право- и левополушарные люди))

Источники:
www.goldenmuseum.com
[1] [2]
The Golden Section - the Number and Its Geometry
Проблемы "золотого сечения" и функциональная асимметрия мозга
Божественные пропорции золотого сечения
Золотое божественное сечение в живописи, архитектуре, математике, искусстве. Божественная пропорция (proportio), золотое соотношение
Золотое сечение - фото, иллюстрации, чертежи
В.Д. Цветков. Золотое сечение и организация живых систем. Пропорция золотого сечения и структура сердечных циклов млекопитающих (также в этой статье много ссылок на научные исследования: золотое сечение в астрономии, биологии, физике, музыке, геологии)
В.Д. Цветков. Золотое сечение и деятельность сердца
Золотое сечение, ряд Фибоначчи - описание, понятие, история. Гармония пропорций в человеке, природе, математике и искусстве.
Золотое сечение - фото, иллюстрации, чертежи
Золотое сечение в архитектуре - пирамиды, соборы, дворцы, здания
Золотая пропорция в искусстве, картинах художников: Леонардо да Винчи, Боттичелли, Рафаэль, Дюрер
Виктор Лаврус. Золотое сечение
center.fio.ru
tmn.fio.ru
Гармония музыки (золотое сечение в музыке)
Порхающие цветы (бабочки, стрекозы и золотое сечение)
Золотые пропорции в ботанике
Ума палата: Гармонию поверить арифметикой?
О числах Фибоначчи
В.Дроздов. Золотое сечение в физике. Журнал "Квант", 1990 г., №2
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. - М.: Аванта+, 1998.

 
На главную страницу
 
Все тексты раздела

Hosted by uCoz