Звездчатые многоугольники

Продолжим стороны правильного пятиугольника до новых пересечений; в результате мы получим звездчатый пятиугольник, или пентаграмму, которая долгое время трактовалась как некий мистический символ. Пентаграмму {5/2} можно рассматривать как обобщенный многоугольник с пятью сторонами, дважды обходящими центр. Каждой из этих сторон отвечает центральный угол 4п/5 с вершиной в центре, в то время как каждая сторона обычного правильного n-угольника вмещает угол 2п/n. Таким образом, пентаграмма - это как бы n-угольник с n = 5/2. Аналогично каждое рациональное число n = p/q (>2) приводит к многоугольнику {p/q}, где числитель обозначает число сторон, а знаменатель - "плотность".

(По материалам книги: У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. Пер. с англ. - М.: "Мир", 1986. - 474 с. с ил.
Стр. 158)

Построение звездчатых многоугольников

Чтобы получить звездчатый многоугольник {p/q}, разделим окружность на p равных частей, поставив точки. Эти точки нужно соединить следующим образом. От каждой точки по часовой стрелке и против часовой стрелки отсчитываем q точек и соединяем данную точку с q-ой точкой слева и с q-ой точкой справа. На рисунке - пример: звездчатый многоугольник {8/3}.

Если p и q не взаимно простые, т.е. дробь p/q можно сократить, то таким образом соединяются не все p вершин, и звездчатый многоугольник распадается на отдельные многоугольники (их количество равно наибольшему общему делителю чисел p и q). Например, при попытке изобразить многоугольник {8/2} мы получаем два квадрата, один из которых повернут относительно другого на 45 градусов.

Соединяя на одном рисунке несколько звездчатых многоугольников {p/q} с одинаковым числителем p, можно получить довольно красивые картинки: